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Variable Aleatoria   ¿  Variable Aleatoria Discreta. Función de Probabilidad y de Distribución  ¿  Variable Aleatoria Continua. Función de Distribución y de Densidad   ¿   Resumen

 

 

 

   Variable Aleatoria 

  Si en un experimento aleatorio a cada suceso aleatorio elemental le asignamos un valor numérico  obtenemos una variable aleatoria, que puede ser discreta o continua. Cuando el conjunto numérico es el de los números enteros la variable aleatoria es discreta. Si el conjunto numérico es el de los números reales la variable aleatoria es continua.

 

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   Variable Aleatoria Discreta

Si x es una variable aleatoria continua, sólo puede tomar ciertos valores en un intervalo.

  V. A. Discreta: Función de Probabilidad 

  Si x1, x2, x3,..............xn son los valores de x y p1, p2, p3,...........pn las probabilidades de los sucesos correspondientes a los valores de x se llama función de probabilidad o distribución de probabilidades de la variable x al conjunto de los pares (xi, pi)

{(x1, p1), (x2, p2), (x3, p3), .......... (xn, nn)}

formados por los valores de x y sus probabilidades correspondientes.

Si el conjunto de valores de x tiene n elementos: S pi = 1

Y si es infinito numerable:

La función de probabilidad  P(x)  de la variable aleatoria x es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi

Ejemplo. Lanzamos al aire una moneda repetidamente, veamos la probabilidad de obtener cara la primera vez, la segunda, etc. y su distribución de probabilidades

xi 1 2 3 ... n
pi 1/2 1/4 1/8 .... 1/2n

Lanzamiento y probabilidad

Distribución de probabilidad

 

  V. A. Discreta: Función de Distribución

  En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la variable aleatoria  x tome exactamente un determinado valor xi, sino conocer la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución

 Sea x una variable aleatoria. La probabilidad de que x sea menor o igual que un valor t , se escribe P (x ≤ t) y esta probabilidad será función de t. Si a esta función la designamos por F(t):

F(t) = P (x ≤ t)

  Esta función se llama función de distribución.

  Si xi es creciente con i y suponemos que t está comprendido entre dos de estos valores valores:

xh-1 < t xh

la condición:  x ≤ t      Þ      x = x1       ó     x = x2 ................x = xh

ß

P (x ≤ t) = P (x1) + P (x2) + .......... + P (xh)

 Luego la función de distribución F(t) es la suma de las probabilidades de todos los sucesos x = xi     tales que   xi ≤ t    

 

Ejemplo.  En el ejemplo anterior del lanzamiento de una moneda, la función F(t) toma los siguientes valores:

Para      0 < t 1

F(t) = 1/2

Para      1 < t 2

F(t) = 1/2 + !/4 = 3/4 = 1 - 1/22

Para      2 < t 3

F(t) = 1/2 + !/4 + 1/8 = 7/8 = 1 - 1/23

Para     n-1 < t n

F(t) = 1 - 1/2n

  Vemos que F(t) es una función escalonada, creciente y si t ® ¥

  Lo que hemos visto se puede generalizar al caso en que la función de distribución es una función continua.

 

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  Variable Aleatoria Continua 

Si x es una variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor en un intervalo.

  V. A. Continua: Función de Probabilidad 

  Si la variable aleatoria es continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores más. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable, como se puede hacer en el caso de variables aleatorias discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución), y podremos analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son probabilidades sino otro concepto  denominado densidad de probabilidad).

Ejemplo. Sea x la v.a. que describe la duración de las lámparas de una determinada marca y modelo. Los valores de una variable estadística continua siempre se consideran agrupados en intervalos de clase, luego no tiene sentido plantearse la probabilidad de resultados "aislados" (como, por ejemplo, la probabilidad de que una lámpara dure, exactamente, 265 h). En todo caso, esas probabilidades deben valer cero. Pero sí podemos preguntarnos, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que una lámpara dure menos de 265 horas? o ¿cuál es la probabilidad de que una lámpara dure entre 300 y 340 horas?

 

  V. A. Continua: Función de Distribución 

 Para conocer la probabilidad de que la variable aleatoria x tome valores menores o iguales que un cierto valor xi  es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución

 La probabilidad de que x sea menor o igual que un valor t , se escribe P (x ≤ t) y esta probabilidad será función de t. Si a esta función la designamos por F(t):

F(t) = P (x ≤ t)

  Esta función se llama función de distribución.

 Ejemplo.  Sea un disco graduado entre dos valores a y b, a<b, que se hace girar en presencia de una pestaña que permanece inmóvil. Veamos  la probabilidad de que al parar el disco la pestaña marque un valor entre a y un valor t, y también la función de distribución correspondiente:

 

  V. A. Continua: Función de Densidad 

   Sea la función de distribución F(t) = P (x ≤ t) y supongamos dos números reales a y b,  a<b, entonces:

F(a) = P (x ≤ a)      y     F(b) = P (x ≤ b)

F(b) - F(a)  = P (x ≤ b) - P (x ≤ a) = P(a<x≤b)

Se llama densidad media de probabilidad en el intervalo [a, b] a:

En el ejemplo anterior del círculo que gira, la función de densidad es:

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 Resumen

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