Ejemplo 3.
-El
consumo medio bimestral de energía eléctrica en una ciudad es de 59
Kwh., con una desviación típica de 6 Kwh. Se supone que se distribuye
según una distribución normal.
a) ¿Cuántos
Kwh. tendría que consumir bimestralmente para pertenecer al 5% de la
población que más consume?.
b) Si usted consume 45
Kwh. ¿qué % de la población consume menos que usted?
ß
a)
Buscamos en la tabla el
valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el
0,95 (95%), por lo que por arriba estaría el 5% restante.
Este valor corresponde a t = 1,645.
Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada:
1,645 = (X -59)/6
Þ X =
67,87
Por lo tanto, tendría
usted que consumir más de 67,87 Kwh. bimestralmente para pertenecer
al 5% de la población que más consume
b)
Vamos a ver en que nivel
de la población se situaría usted en función de los 45 Kwh.
consumidos.
Calculamos el valor
de la normal tipificada correspondiente a 45
Kwh.
t = (45 -59)/9 = -2.333
P (X
≤ 45) =
P (t ≤ -2,333) = P (t > 2,333) = 1 - P (t≤ 2,333) = 1 - 0,9901 =
0,0099
Luego, tan sólo un
1,39% de la población consume menos que usted.
¢
Ejemplo 4.
Una empresa instala
en una ciudad 20.000 bombillas para su iluminación. La duración de
una bombilla sigue una distribución normal con media 302 días y
desviación típica 40 días. Calcular. a)
¿Cuántas bombillas es de esperar que se fundan antes de 365 días?
¿Cuántas durarán más de 400 días? Explica razonadamente las
respuestas.
ß
a)
Tipificamos el valor 365
Þ
t = (365 -302)/40 = 1,575
P (X ≤ 365) = P (t
≤1,575 )
= 0,9418
Luego el 94,18% de las lámparas, es
decir 20.000 ∙ 0.9418 = 18.836 bombillas se fundirán antes de
365 días
b)
Tipificamos el valor 400
Þ
t = (400-302)/40 = 2,45
P (X > 400) = P (t
>2,45 )
= 1- P (t ≤2,45 )
= 1 - 0,9929 = 0,0071
Entonces el 0,71% de las lámparas,
es decir 20.000 ∙ 0.0071 = 142 bombillas durarán más de 400 días
¢
Ejemplo 5.
El tiempo
medio de los electricistas de una empresa en realizar el montaje de
un determinado cuadro eléctrico es de
4 días, con una
desviación típica de 1 día. Se supone que se distribuye según una
distribución normal. Calcular:
a)
Porcentaje de electricistas que tardan menos
de 3 días. b) Tiempo a partir del cual del cual se sitúa el 10% de
los electricistas que más tiempo emplean en realizar el cuadro. c)
Tiempos mínimo y máximo que engloba al 60% de los electricistas con
tiempo medio. ß
a)
t = (3 -4)/1 = -1
P (X
≤ 3) = P (t
≤
-1)
P (t ≤ -1) = P (t > 1)
P (t > 1) = 1 - P (t
≤ 1) = 1 - 0,8413 =
0,1587
Luego, el 15,87 % de los electricistas emplean
un tiempo inferior a 3 días b)
Buscamos en la
tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada
es el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sitúa el 10%
superior. Este valor corresponde a t =
1,282. Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor
de la normal tipificada:
1,282 = (X -4)/1
Þ X =
5,282
Despejando X, su valor es 5,282. Por lo
tanto, el 10% de los electricistas que más tardan en realizar un
cuadro lo hacen en
5.28 días
c)
Buscamos en la tabla
el valor de t cuya probabilidad acumulada es el 0,8 (80%). Como
sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%,
quiere decir que entre la media y este valor hay un 30% de
probabilidad. Por otra parte, al ser la distribución normal
simétrica, entre -t y la media hay otro 30% de probabilidad. Por lo
tanto, el segmento (-t, +t) engloba al 60% de los electricistas con
tiempo medio.
El valor de t
que acumula el 80% de la probabilidad es 0,842, por lo que el
segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los
valores de la variable X correspondientes a estos valores de t.
-0,842 = (X -4)/1
Þ X =
3,158
0,842 = (X -4)/1
Þ X =
4,158
Los valores de X son 3,158 y 4,158. Por lo
tanto, los electricistas con tiempos comprendidos entre 3,158
días y 4,158 días constituyen el 60% de la población con un
tiempo medio de realización del cuadro.
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