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Introducción
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En la
industria la calidad final que se obtiene en un proceso depende de
muchos factores: experiencia de los operarios, calidad de las
materias primas, estado de las herramientas, etc. Algunos de estos
parámetros se conocen de forma exacta (variables asignables),
mientras que otros se sabe que siguen una tendencia (variables
aleatorias). La estadística nos proporciona una herramienta muy
interesante para poder trabajar con estos casos en los que se
conoce sólo el comportamiento pero no el valor preciso: la
variable aleatoria.
Variable aleatoria
es
una función que asocia un número a cada suceso elemental de un
espacio muestral.
Supongamos que hacemos un
histogramas de frecuencias relativas de la intensidad de disparo de un
interruptor automático. El histograma tendrá la forma de la
figura izquierda de debajo. A medida que los intervalos se
van haciendo más pequeños, la línea poligonal de frecuencias
relativas tiende hacia una línea curva. Esta curva es la gráfica de
una función f(x) llamada función de densidad, figura
debajo derecha, que está
asociada a una distribución de probabilidades de una variable
aleatoria continua. |
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E
Variable estadística
E
Frecuencia relativa de xi
E
Fi = fi/n
y S
Fi = 1 |
E
Variable aleatoria
E
Probabilidad del suceso xi
E
f(xi) = pi y
S
pi
= 1 |
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Cuando se trabaja con una variable aleatoria continua siempre se
determinan probabilidades de que la variable aleatoria X pertenezca
a un cierto intervalo P(x1≤
X≤ x2), ya que la probabilidad en un punto es cero.
La función de densidad f(x)
es una función asociada a una variable aleatoria continua X que
permite hallar mediante el cálculo de áreas las probabilidades en
las distribuciones continuas.
La función de distribución
de una variable aleatoria continua es la función que determina
la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o
igual a xi: F(xi) = P(X
≤ xi)
El área de la región comprendida entre f(x), OX y dos rectas x1
y x2 es la probabilidad de que la variable aleatoria X
esté en el intervalo [x1, x2].
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La
Distribución Normal
N (m,
s)
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La
distribución normal N (m,
s)
es un modelo matemático que rige muchos
fenómenos. La experiencia demuestra que las distribuciones de la
mayoría de las muestras tomadas en el campo de la industria se
aproximan a la distribución normal si el tamaño de la muestra es
grande. Esta distribución queda definida por dos parámetros: la
media m
y la desviación típica
s. Se presenta mediante una
curva simétrica conocida como campana de Gauss. Esta distribución
nos da la probabilidad de que al elegir un valor, éste tenga una
medida contenida en unos intervalos definidos. esto permitirá
predecir de forma aproximada, el comportamiento futuro de un
proceso, conociendo los datos del presente. |
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La desviación típica es grande, el
intervalo de incertidumbre de la medida es grande, la precisión es
débil |
La desviación típica es pequeña, el
intervalo de incertidumbre de la medida es pequeña, la precisión es
grande |
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Tienen
especial interés los siguientes intervalos: |
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La Distribución Normal
Tipificada
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La distribución normal tipificada N (0,
1).
Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1 se
denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay
tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de
la curva de esta distribución.
La
tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde -¥
hasta un
valor. No nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una
distribución continua en el que la variable puede tomar infinitos
valores, la probabilidad en un punto concreto
es cero. |
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Método para Calcular
Probabilidades (Tabla con Valores + y -)
Abrir Ventana con Tabla (valores + y -)
La
probabilidad en un intervalo t1≤t≤t2
se obtiene restando de la probabilidades acumulada t2
p(t2) la probabilidad acumulada de t1
p(t1)
P(t1≤t≤t2)
= p(t2) - p(t1)
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Ejemplo:
Probabilidad en el intervalo -1
≤
t ≤
0,5 P(-1≤
t ≤ 05) =
p(0,5) - p(-1) =
=
0,6915 -0,1587 = 0,5328 |
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Método para Calcular
Probabilidades (Tabla con Valores sólo +)
Abrir Ventana con Tabla (valores +)
En
este caso hay que hacer algunas consideraciones, tal como se indica
a continuación:
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La probabilidad
p
de que un valor cualquiera
t
se encuentre en el intervalo -∞ < t
< +∞ es de 1 (100%) |
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La probabilidad
p
de que un valor cualquiera
t
se encuentre en el intervalo -∞ < t
< t1 es de p(t1)
Ejemplo: P(t
≤ 1,75) = 0,9599 [P(t
>1,75) = 1-0.9599 = 0,041] |
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La probabilidad
p
de que un valor cualquiera
t
se encuentre en el intervalo -∞ < t
< -t1 es de p(-t1) = 1 - p(t1)
Ejemplo: P(t
≤ -0,5) = 1- P(t ≤ 0,5) =
1-0,6915 = 0,3085 ó también P(t
≤ -0,5) = P(t > 0,5) =
1-P(t ≤ 0,5) = 0,3085 |
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La probabilidad
p
de que un valor cualquiera
t
se encuentre en el intervalo -t1 < t
< +t1 es de p(-t1<t<+t1)
= p(t1) - p(-t1) = 2p(t1)-1
Ejemplo: P(-1≤
t ≤ 1) = 2P(t
≤ 1) -1= 2∙ 0,8413 -1 = 0,6826 |
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La probabilidad
p
de que un valor cualquiera
t
se encuentre en el intervalo t1 < t
< t2 es de p(t1<t<t2)
= p(t2) - p(t1)
Ejemplo: P(1≤
t ≤ 1,85) = P(t≤1,85)
- P(t≤1) = 0.9678 - 0,8413 = 0,1265 |
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La probabilidad
p
de que un valor cualquiera
t
se encuentre en el intervalo -t1 < t
< +t2 es de p(-t1<t<+t2)
= p(t2) - p(-t1) = p(t2) - [1 - p(t1)]
= p(t2) + p(t1) -1
Ejemplo:
P(-1≤ t
≤ 1,85) = P(t≤1,85)
+ P(t≤1) -1 = 0.9678 + 0,8413 - 1 = 0,8091 |
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La probabilidad
p
de que un valor cualquiera
t
se encuentre en el intervalo -t1 < t
< -t2 es de p(-t1<t<-t2)
= p(-t2) - p(-t1) = [1 - p(t2)] - [1 - p(t1)]
= p(t1) - p(t2)
Ejemplo:
P(-1,85≤ t
≤ -1) = P(t≤1,85)
-P(t≤1) = 0.9678 - 0,8413 = 0,1265 |
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Tipificación de la
Variable |
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Si se tiene una curva normal N (m,
s) y se quiere hallar las
probabilidades a partir de las tablas de la normal estándar N(0,1) es preciso realizar un cambio de variable
(tipificación):
P(X ≤ x) = P(t
≤ (x -m)/s)
Es decir, la probabilidad de
que x esté entre entre dos valores a y b es igual a la
probabilidad de que t esté entre:
(a -
m)/s y (b -
m)/s
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Ejemplo:
Sea la curva normal N(100,10), se
desea hallar la probabilidad de que x tome un valor entre 90 y
110.
t1 = (90 -100)/10 = -1
t2 = (110 -100)/10 = 1
Se busca en la tabla
N(0,10) p(-1<t<1)
= p(1) - p(-1) = p(1) - [1 - p(1)]
= p(1) + p(1) - 1 = 0,8413 + 0,8143 - 1 = 0,6826 y en porcentaje
68,26% |
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